Bài toán được chuyển về việc tìm tam giác vuông ABC (góc vuông A) với đường phân giác trong AD thỏa mãn các điều kiện sau:

1. AB+AC=5 cm

2. AD ≥ \(\sqrt{2}\) cm

(Giải thích: Nếu lấy 4 tam giác vuông ABC, lần lượt đặt các tam giác này vào các góc của hình vuông ban đầu với đỉnh A trùng góc hình vuông, các cạnh AB và AC lần lượt trùng các cạnh hình vuông và đỉnh B của một tam giác trùng với đỉnh C của một tam giác ở góc bên cạnh, thì lúc này ta có một hình vuông được tạo thành bởi các cạnh BC (góc của hình phía trong bù với tổng 2 góc B và C của tam giác nên là góc vuông, độ dài các cạnh bằng nhau và bằng cạnh BC); độ dài đường phân giác AD ≥ \(\sqrt{2}\) cm để tam giác ABC che được 4 hình vuông bị cắt đi ở 4 góc hình vuông lớn). Lúc này diện tích hình vuông bên trong bằng BC², nên chúng ta cần tìm độ dài lớn nhất của BC thỏa mãn các điều kiện trên của tam giác.

A C B

Dễ dàng thấy được BC² = AB² + AC² = (AB+AC)² - 2 AB AC = 25 - 2 AB AC

Vậy BC² lớn nhất khi tích AB AC nhỏ nhất. Độ dài đường phân giác trong AD = \(\dfrac{2.AB.AC.cos\dfrac{A}{2}}{AB+AC}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{5}\)AB AC ≥ \(\sqrt{2}\) cm

⇒ AB AC ≥ 5 ⇒ BC² ≤ 15.

Đáp án: Diện tích lớn nhất có thể của hình vuông là 15 cm².