Giải:
Từ 5 chữ số 1; 3; 4; 7; 9 có thể lập được: Chữ số hàng chục nghìn có 5 cách chọn; chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn; chữ số hàng trăm có 3 cách chọn; chữ số hàng chục có 2 cách chọn và chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn. Vậy từ 5 chữ số đã cho có thể lập được:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho và mỗi chữ số ở mỗi hàng đều được lặp lại 24 lần.
Tổng của 120 số này là:
( 1 + 3 + 4 + 7 + 9 ) x 24 x 10000 + ( 1+ 3 + 4 + 7 + 9 ) x 24 x 1000 + (1 + 3 + 4 + 7 + 9 ) x 24 x 100 + ( 1 + 3 + 4 + 7 + 9 ) x 24 x 10 + ( 1 + 3 + 4 + 7 + 9 ) x 24 x 1 = 24 x 24 x 11111 = 6399936
Các số chia hết cho 11 là những số có hiệu của tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn và tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng lẻ chia hết cho 11. Hiệu này chỉ có thể là 0; 11; 22 vì tổng các chữ số 1 + 3 + 4 + 7 + 9 = 24. Gọi tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng chẵn là a, tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng lẻ là b ta có:
+ Trường hợp hiệu bằng 0 chọn (vì khi a + b = 24; a - b = 0, suy ra a = b = 12 = 1 + 4 + 7 = 3 + 9)
+ Trường hợp hiệu bằng 11 : loại (vì tổng a + b là số chẵn khi a, b hoặc cùng là số lẻ hoặc cùng là số chẵn nên a - b phải là số chẵn, nhưng hiệu của a và b lại bằng 11 là số lẻ)
+ Trường hợp hiệu bằng 22 : loại ( vì một tổng bằng 23, một tổng bằng 1, nhưng tổng của 2 hoặc 3 trong các chữ số đã cho luôn lớn hơn 1)
Các số có 5 chữ số được lập từ các chữ số 1; 3; 4; 7; 9 chia hết cho 11 là:
13497 19437 43197 49137 73194 79134
13794 19734 43791 49731 73491 79431
Ta thấy các chữ số ở hàng chục nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị được lặp lại 4 lần, còn các chữ số ở hàng nghìn và hàng chục được lặp lại 6 lần.
Tổng của các số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho mà chia hết cho 11 là:
( 1 + 4 + 7 ) x 4 x 10000 + ( 1 + 4 + 7 ) x 4 x 100 + ( 1 + 4 + 7 ) x 4 x 1 + ( 3 + 9 ) x 6 x 1000 + ( 3 + 9 ) x 6 x 10 =
12 x 4 x 10101 + 12 x 6 x 1010 = 557568
Vậy tổng của tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 5 chữ số đã cho và không chia hết cho 11 là:
6399936 - 557568 = 5842368
Đáp số: 5842368
Bình luận (0)