Điều quan trọng là nhìn thấy một tam giác vuông cụ thể liên hệ các cạnh của hình vuông với nhau và bán kính của hình tròn.
Gọi r là bán kính của hình tròn. Vẽ một đường kính của hình tròn đến hai góc của hình vuông màu xanh. Tam giác thu được là một tam giác vuông cân với cạnh huyền 2r.
Điều này có nghĩa là cạnh của hình vuông màu xanh là 2r/√2, đơn giản là r√2.
Bây giờ, hãy vẽ một đường vuông góc từ tâm của hình tròn đến cạnh đáy của hình vuông màu xanh, và vẽ một bán kính khác đến góc của hình vuông màu xanh. Viết s để biểu thị độ dài cạnh của hình vuông màu xanh. Đoạn vuông góc chia đôi cạnh của hình vuông màu xanh, vì vậy chúng ta có sơ đồ sau.
Bây giờ chúng ta có một tam giác vuông với nửa cạnh hình vuông màu cam (s/2), cạnh hình vuông nhỏ cộng với nửa cạnh hình vuông màu xanh (s+r/√2) và cạnh huyền bằng bán kính (r).
Sử dụng định lý Pitago, chúng ta có:
(s/2)2 + (s + r/√2)2 = r2
Bán kính của hình tròn lớn là một hằng số chưa biết. Ta có thể coi phương trình trên là phương trình bậc hai tính bằng s. Vì vậy, hãy để chúng tôi mở rộng ở trên và giải quyết cho s.
s2/4 + s2 + rs√2 + r2/2 = r2
(5/4)s2 + rs√2 – r2/2 = 0
5s2 + rs(4√2) – 2r2 = 0
(5s – r√2)(s + r√2) = 0
Chúng tôi có hai giải pháp khả thi:
s = r√2/5
hoặc
s = –r√2
Vì độ dài cạnh của hình vuông màu cam mà dương nên chúng ta có thể bác bỏ lời giải thứ hai. Điều này có nghĩa là chúng tôi có:
s = r√2/5
Cạnh của hình vuông màu xanh bằng r√2, vì vậy điều này có nghĩa là cạnh của hình vuông màu xanh gấp 5 lần. Tỷ lệ diện tích là bình phương của tỷ lệ các cạnh. Điều này có nghĩa là diện tích của hình vuông màu xanh gấp 25 lần diện tích của hình vuông màu cam.
